Die Lichtenberg-Lotterie

Diese "Lotterie" geht auf Daniel Bernoulli zurück, der damit das "Petersburger Problem" vereinfachen abgewandelt hat, bei dem es um Gewinnchancen und Einsatz beim Würfeln geht.

Prinzip:

• Das Spiel besteht aus einer vereinbarten Anzahl von Münzwürfen, die endet, sobald eine 1 ("Zahl") fällt.
• Der Spielanbieter verspricht dem Spieler einen Gewinn, der sich mit jedem Wurf verdoppeln kann.
• Der Einsatz des Spielers steigt von einem Münzwurf zum nächsten um das Produkt aus dem nun möglichen Gewinn und der Wahrscheinlichkeit seines Eintreffens.

Diese Bedingungen veranschaulicht die Tabelle Tab. 1. Die darin vorkommenden Wahrscheinlichkeitsangaben erklären sich aus der Abbildung Abb. 1. Die Berechnung des Einsatzes stützt sich auf die Hypothese der Gleichwahrscheinlichkeit der Wurfergebnisse. Da der Einsatz mit der Zahl der Würfe linear anwächst, der versprochene Gewinn aber exponentiell, entsteht folgendes

Problem:

• Das Spiel ist hinsichtlich der Einsätze anscheinend gerecht,
• hinsichtlich der möglichen Gewinne aber für den Spielanbieter potentiell ruinös.

Lichtenberg und seine Zeitgenossen suchen die Ursache für den zu geringen Einsatz in der Gleichwahrscheinlichkeit der Wurfergebnisse 0 und 1 - unabhängig von den Ergebnissen voraufgegangener Würfe.

Positionen:

• Der Mathematiker Daniel Bernoulli u.a. halten die Gleichwahrscheinlichkeits-annahme für zutreffend.
• Der Mathematiker d'Alembert u.a. hingegen bezweifeln die Zulässigkeit dieser Annahme. D' Alembert hält z.B. ein Ergebnis für umso wahrscheinlicher je länger es nicht eingetreten ist.

Lösungsansatz:

• Lichtenberg hat die Idee, die Streitfrage mit einem Experiment zu klären.

Verfahren:

Lichtenberg führt zwölf Reihen von je 20 aufeinander folgenden Münzwürfen aus. Die (nur) 240 Ergebnisse untersucht er nicht einfach auf die Häufigkeit der Ergebnisse 0 und 1, sondern er notiert jede der 12 Reihen als 20stellige Dualzahl und zählt darin die Häufigkeit der Wechsel zwischen 0 und 1 (im folgenden "Inversionen" genannt). Diese vergleicht er mit einer aus der Hypothese der Gleichwahrscheinlichkeit hergeleiteten theoretischen Verteilung.

Die von Lichtenberg dazu verwendete Formel veranschaulicht die Tabelle Tab. 2 für bis zu 6 Würfe.

In den Ergebnissen sind die einer Inversion folgenden Ziffern jeweils unterstrichen und Reihen mit gleich vielen Inversionen mit einer für deren Anzahl spezifischen Farbe eingefärbt. Daraus kann die Übereinstimmung mit den formelmäßig berechneten Werten in den rechts daneben diesen Reihen zugeordneten Werten durch Nachzählen festgestellt werden. In der Tabelle Tab. 3 wird die Anzahl möglicher Reihen mit i vielen Inversionen für bis zu zwanzig Münzwürfe entsprechend der in Tab. 2 dargestellten Formel

numerisch bestimmt. Dann wird die letzte Zeile (n = 20, gelb markiert als Spalte mit der Bezeichnung a(n, i) in die Abbildung Abb. 2 übernommen und die zugehörige Verteilung mit grünen Balken veranschaulicht. Die von Lichtenberg gezählten Inversionen in den 12 Reihen seines Experiments stehen in den entsprechenden Zeilen rechts daneben. Ihre Verteilung ist mit roten Balken veranschaulicht.

Ergebnis:

• Die rot dargestellte Verteilung lässt keinen signifikanten Widerspruch zur grünen erkennen.

Folgerungen:

• Die Gleichwahrscheinlichkeitsannahme ist mit dem Experiment in Einklang.
• D'Alemberts These ist unhaltbar.

Würdigung:

Lichtenberg verfolgt schon einen modernen, wissenschaftstheoretischen Ansatz: Er unterscheidet - wenn auch noch mit Begriffen seiner Zeit - zwischen mathematischem Modell und experimentell überprüfbarer Realität. Die axiomatisch begründete Mathematik kann die Wirklichkeit nur näherungsweise beschreiben. Die Beschreibung wird umso stimmiger, je besser die idealisierten Modelle der Realität angepasst werden. Das Experiment kann nicht nur naturwissenschaftliche Fragen falsifizieren, sondern z.B. auch statistische.